Curiozitati: 2013

Funcție de stare și spațiu Hilbert

În mecanica cuantică o stare dinamică a unui sistem atomic este descrisă cantitativ de o funcție de stare (numită, într-o formulare particulară, funcție de undă). Comportarea ondulatorie a sistemelor atomice arată că stările lor ascultă de principiul superpoziției; pe plan teoretic, aceasta înseamnă că funcțiile de stare sunt elemente ale unui spațiu vectorial.
Pentru interpretarea fizică a funcției de stare e necesar ca vectorii din spațiul stărilor să poată fi caracterizați prin orientare și mărime. Acest lucru se realizează definind un produs scalar, ceea ce transformă spațiul stărilor într-un spațiu prehilbertian. Produsul scalar a doi vectori $\, u \,$ și $\, v \,$ este un număr complex $\, \left \langle u , v \right \rangle \,$ cu proprietățile

$\left( 1 \right)$ $\left \langle u , v \right \rangle = \left \langle v , u \right \rangle ^* , \; \left \langle u , u \right \rangle \ge 0 \, ,$

unde asteriscul denotă conjugata complexă. Mărimea pozitivă

$\left( 2 \right)$ $\left \| u \right \| = \sqrt{\left \langle u , u \right \rangle}$

se numește norma vectorului $\, u .$
În general, spațiul stărilor este infinit-dimensional; pentru a putea cuprinde în totalitate stările sistemului, se impune condiția ca el să fie complet, ceea ce îl face să devină un spațiu Hilbert.

Observabile și operatori hermitici

Starea unui sistem, la un anumit moment, este caracterizată prin valorile măsurate, în acel moment, ale unui număr de mărimi fizice observabile. Analiza operației de măsurare arată că măsurarea unei observabile modifică starea sistemului, iar măsurarea simultană (adică în succesiune imediată) a două observabile poate da rezultate diferite, în funcție de ordinea în care au fost efectuate măsurătorile. Teoria incorporează aceste constatări atașând fiecărei dintre observabilele $\mathcal{A}, \mathcal{B}, ... \,$ ale sistemului un operator liniar $A, B, ... \,$ în spațiul Hilbert, operației de măsurare a observabilei corespunzându-i aplicarea operatorului reprezentativ asupra funcției de stare. Algebra acestor operatori este necomutativă, adică în general $AB \ne BA \, ;$ comutatorul a doi operatori $A \,$ și $B \, ,$ notat $\, \left[ A , B \right] \, ,$ este operatorul

$\left( 3 \right)$ $\left[ A , B \right] = AB - BA \, .$

Două observabile $\mathcal{A}$ și $\mathcal{B}$ se numesc compatibile dacă operatorii atașați comută (comutatorul lor este nul).^[2]

Valori proprii și vectori proprii

Se mai face ipoteza că valoarea rezultată din măsurarea unei observabile este una dintre valorile proprii ale operatorului atașat, iar starea sistemului imediat după efectuarea măsuratorii este un vector propriu corespunzător acestei valori; întrucât observabilele au valori reale, operatorii reprezentativi trebuie să fie operatori hermitici. Un operator liniar este un operator hermitic dacă pentru orice pereche de vectori $u \,$ și $v \,$ din spațiul Hilbert are loc relația

$\left( 4 \right)$ $\left \langle Au , v \right \rangle = \left \langle u , Av \right \rangle .$

Ecuația liniară omogenă

$\left( 5 \right)$ $Au = au \, ,$

unde $a \,$ este o constantă, are soluții nebanale (adică diferite de vectorul nul) doar pentru anumite valori ale acestei constante, numite valori proprii ale operatorului $A ,$ iar soluțiile corespunzătoare se numesc vectori proprii.
Din relațiile (1) și (4) rezultă că într-adevăr valorile proprii ale unui operator hermitic sunt numere reale; mulțimea tuturor valorilor proprii constituie spectrul operatorului. Spectrul este în general discret, adică o mulțime numărabilă, ale cărei elemente pot fi indexate printr-un număr întreg, în forma $\, \left\{a_0, a_1, ... , a_n, ... \right\} .$ Vectorii proprii corespunzători unor valori proprii diferite sunt ortogonali: dacă $\, u_m \,$ și $\, u_n \,$ sunt vectori proprii corespunzători, respectiv, valorilor proprii $\, a_m \ne a_n \, ,$ atunci $\, \left \langle u_m , u_n \right \rangle = 0 \, .$ Unei valori proprii îi pot corespunde mai mulți vectori proprii liniar independenți, în care caz ea se zice degenerată, iar numărul maxim de vectori proprii liniar independenți care îi corespunde este ordinul de degenerare; fenomenul se numește degenerescență. Acești vectori nu sunt, în general, ortogonali, însă există metode de ortogonalizare prin care se poate construi, în subspațiul invariant asociat unei valori proprii degenerate, un sistem echivalent de vectori ortogonali. Împărțind fiecare vector propriu prin norma sa, se obține un sistem ortonormat complet de vectori proprii, caracterizat prin

$\left( 6 \right)$ $\left \langle u_m , u_n \right \rangle = \delta_{mn} \, ,$

unde $\, \delta_{mn} \,$ e simbolul Kronecker (care are valoarea 1 pentru indici egali și 0 pentru indici diferiți).
Dacă două observabile $\, \mathcal{A} \,$ și $\, \mathcal{B} \,$ comută, ele admit (cel puțin) un sistem ortonormat complet comun de vectori proprii — și reciproc.^[3] În prezența degenerescenței, acest sistem nu este, în general, unic. Se poate însă găsi un ansamblu de observabile $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, ... \,$ care comută două câte două și admit un sistem ortonormat complet unic de vectori proprii; este ceea ce se numeste un sistem complet de observabile care comută.

Reprezentări

Mulțimea vectorilor proprii ai unui operator hermitic $\, A \, ,$ atașat unei observabile $\, \mathcal{A} \, ,$ formează un sistem complet în spațiul Hilbert; orice vector de stare poate fi descompus în mod unic în această bază, presupusă ortonormată conform relației (6), în forma

$\left( 7 \right)$ $\psi = \sum_n c_n u_n \, .$

Coeficienții sunt dați de

$\left( 8 \right)$ $c_n = \left \langle u_n , \psi \right \rangle$

și ei satisfac relația de completitudine

$\left( 9 \right)$ $\sum_n | c_n | ^2 = \left \| \psi \right \| ^2 \, .$

Stările rezultate din acțiunea unui operator hermitic $\, B ,$ atașat unei observabile $\mathcal{B} ,$ asupra bazei ortonormate alese pot fi descompuse la rândul lor conform (7):

$\left( 10 \right)$ $B u_m = \sum_n B_{mn} u_n \, ,$

unde coeficienții

$\left( 11 \right)$ $B_{mn} = \left \langle u_m , B u_n \right \rangle$

se numesc elementele de matrice ale operatorului $\, B .$
Baza ortonormată de vectori proprii ai operatorului $A \,$ definește reprezentarea observabilei $\mathcal{A} \, ,$ în care vectorilor de stare le corespund matrici coloană $\begin{bmatrix} c_n \end{bmatrix} ,$ iar operatorilor matrici pătrate $\begin{bmatrix} B_{mn} \end{bmatrix} .$ În reprezentarea proprie, matricea unui operator este diagonală și are drept elemente diagonale valorile proprii $A_{mn} = \delta_{mn} a_n \, .$ Trecerea de la o reprezentare la alta se realizează printr-o transformare unitară în spațiul Hilbert.

Spectru continuu

În situații foarte idealizate (de exemplu în cazul particulei libere să se miște în întreg spațiul), spectrul (sau numai o parte a spectrului) poate deveni continuu; pentru vectorii proprii corespunzători nu se poate defini o normă. Dificultatea se ocolește prin normarea la funcția delta^[4], în loc de simbolul Kronecker. Cu această convenție, relațiile (6) și (7) devin, în cazul spectrului continuu^[5],

$\left( 12 \right)$ $\left \langle u \left( \mu \right) , v \left( \nu \right) \right \rangle = \delta \left( \mu - \nu \right) \, ,$

$\left( 13 \right)$ $\psi = \int c \left( \nu \right) u \left( \nu \right) d \nu \, ,$

unde indicii discreți au fost înlocuiți prin argumente continue, iar sumarea prin integrare.^[6]

Dinamică și hamiltoniană

Evoluția temporală a sistemului sub acțiunea forțelor existente (dinamica sistemului) trebuie să respecte principiul cauzalității, care cere ca starea sa la un anumit moment să determine în mod univoc starea sa la un moment ulterior. Modificarea funcției de stare $\psi$ și a oricărui operator hermitic $A \,$ care reprezintă o mărime observabilă, de la un moment inițial $t_0$ la un moment $t > t_0 , \,$ poate fi descrisă de un operator $U \left( t , t_0 \right)$ care trebuie să fie liniar și unitar (pentru ca evoluția temporală să păstreze superpoziția stărilor și spectrul observabilelor):

$\left( 14 \right)$ $\psi \left( t \right) = U \left( t , t_0 \right) \psi \left( t_0 \right) \, ,$

$\left( 15 \right)$ $A \left( t \right) = U \left( t , t_0 \right) A \left( t \right) U^{-1} \left( t , t_0 \right) \, .$

Se postulează că operatorul de evoluție satisface o ecuație diferențială de ordinul întâi în raport cu timpul, având forma

$\left( 16 \right)$ $i \hbar \frac{d}{dt} U \left( t , t_0 \right) = H U \left( t , t_0 \right)$

și condiția inițială

$\left( 17 \right)$ $U \left( t_0 , t_0 \right) = 1 \, .$

Operatorul hermitic $H \, ,$ care determină dinamica, se numește hamiltoniana sistemului. Efectele cuantice sunt introduse în teorie de constanta universală $\, \hbar ,$ numită constanta Planck redusă, care are dimensiunile unei acțiuni (energie $\times$ timp).

Formularea Schrödinger

În formularea dată de Schrödinger mecanicii cuantice (mecanică ondulatorie), operatorii hermitici $A \,$ asociați observabilelor nu depind de timp. Funcția de stare, numită funcție de undă, evoluează conform ecuației lui Schrödinger

$\left( 18 \right)$ $i \hbar \frac{d \psi}{dt} = H \psi \, ,$

care rezultă din relațiile (14) și (16).
Dacă hamiltoniana nu depinde de timp, ea este operatorul asociat observabilei energie. Ecuația (18) se integrează în forma

$\left( 19 \right)$ $\psi \left( t \right) = e^{-iEt/\hbar} \; u \, ,$

unde funcția $u \,$ satisface ecuația lui Schrödinger independentă de timp

$\left( 20 \right)$ $Hu = Eu \, ,$

care determină valorile proprii și funcțiile proprii ale energiei. Funcția de undă (19) descrie o stare de energie bine determinată $E \,$ (stare staționară).

Formularea Heisenberg

Aplicând funcției de undă $\psi \left( t \right)$ și operatorilor independenți de timp $A \,$ din formularea Schrödinger transformarea unitară dependentă de timp $U^{-1} \left( t, t_0 \right) \, ,$ rezultatul va fi o funcție de stare independentă de timp și operatori dependenți de timp care satisfac ecuația lui Heisenberg

$\left( 21 \right)$ $i \hbar \frac{dA}{dt} = \left[ A , H \right] \, .$

În reprezentarea energiei, în care hamiltoniana este diagonală cu elemente $E_n$ (valorile posibile ale energiei), ecuația precedentă are soluția

$\left( 22 \right)$ $A_{mn} \left( t \right) = e^{i \left( E_m - E_n \right)t / \hbar} A_{mn} \left( 0 \right) \, .$

Aceasta este formularea dată de Heisenberg mecanicii cuantice (mecanică matricială). Ea evidențiază, printre altele, faptul că, dacă operatorul $A \,$ comută cu hamiltoniana, observabila respectivă este o constantă a mișcării.

Formularea de interacție

Există formulări intermediare între cele două extreme Schrödinger și Heisenberg. Ele corespund împărțirii hamiltonienei în doi termeni

$\left( 23 \right)$ $H = H^{(0)} + H^{(1)}$

și unei transformări unitare $U^{{(0)}^{-1}} \left( t, t_0 \right)$ a funcțiilor de stare și operatorilor care realizează trecerea de la formularea Schrödinger pentru $H \,$ la formularea Heisenberg pentru $H^{(0)} \, .$ Funcția de stare va satisface ecuația lui Schrödinger cu hamiltoniana $H^{(1)}$

$\left( 24 \right)$ $i \hbar \frac{d \psi}{dt} = H^{(1)} \psi \, ,$

iar observabilele ecuația lui Heisenberg cu hamiltoniana $H^{(0)}$

$\left( 25 \right)$ $i \hbar \frac{dA}{dt} = \left[ A , H^{(0)} \right] \, .$

Reprezentarea de interacție e utilă atunci când $H^{(0)}$ este hamiltoniana „liberă” a unui sistem pentru care soluția ecuației (25) este cunoscută exact, iar $H^{(1)}$ reprezintă o „interacție” pentru care soluția aproximativă a ecuației (24) este căutată prin metode perturbative.

Interpretare statistică

Articol principal: Operator statistic.

În interpretarea de la Copenhaga, se postulează că starea unui sistem atomic este descrisă complet de funcția de stare în spațiul Hilbert, iar această descriere este de natură statistică. Ea nu se referă la un exemplar izolat al sistemului, ci la un colectiv statistic alcătuit dintr-un număr mare de exemplare „preparate” în aceeași stare la un moment inițial și lăsate să evolueze neperturbate, conform dinamicii conținute în hamiltoniană. Postulatele interpretarii statistice se referă la rezultatele măsurării unei mărimi fizice (observabile), efectuată pe fiecare dintre exemplarele colectivului statistic la un moment ulterior. Măsurarea este presupusă ideală, în sensul că rezultatele ei reflectă numai fenomene cuantice incontrolabile, nu și efecte datorate condițiilor de măsurare, care sunt controlabile și pot fi compensate.^[7] Funcția de stare $\, \psi \,$ se presupune normată la unitate:^[8]

$\left( 26 \right)$ $\left \| \psi \right \| ^2 = 1 \, .$

Principiul cuantificării

Rezultatul măsurării mărimii fizice $\mathcal{A}$ poate fi numai una din valorile proprii $\, \left\{a_0, a_1, ... , a_n, ... \right\} \,$ ale operatorului hermitic asociat $\, A \, .$

Principiul descompunerii spectrale

Probabilitatea de a obține ca rezultat al măsurării valoarea $\, a_n \,$ din spectrul operatorului hermitic asociat $\, A \,$ este pătratul normei proiecției funcției de stare pe subspațiul acelei valori proprii.
Introducând un indice suplimentar care să distingă între vectorii bazei ortonormate în spațiul Hilbert, corespunzători unei valori proprii $\, a_n \,$ degenerată de ordin $\, r \, ,$ și ținând seama de normarea funcției de stare (26), descompunerea spectrală (7) și relația de completitudine (9) iau respectiv formele^[9]

$\left( 27 \right)$ $\psi = \sum_n \sum_r c_{nr} u_{nr} \, ,$

$\left( 28 \right)$ $\sum_n \sum_r | c_{nr} | ^2 = 1 \, .$

Probabilitatea de măsurare a valorii proprii $\, a_n \,$ este atunci

$\left( 29 \right)$ $P_n = \sum_r | c_{nr} | ^2 \, ;$

transcrisă în forma

$\left( 30 \right)$ $\sum_n P_n = 1 \, ,$

relația (30) arată că normarea la unitate a funcției de stare e echivalentă cu legea de sumare a probabilităților pentru valorile mărimii fizice $\, \mathcal{A} \, .$ Cunoscând probabilitățile, se poate calcula valoarea medie a observabilei:

$\left( 31 \right)$ $\left \langle A \right \rangle = \sum_n a_n P_n = \sum_n \sum_r {c_{nr}}^* a_n \, c_{nr} = \left \langle \psi , A \psi \right \rangle \, .$

Se obține astfel o consecință importantă a principiului descompunerii spectrale:
Valoarea medie a unei mărimi fizice $\, \mathcal{A} ,$ reprezentată prin operatorul hermitic $\, A , \;$ pe colectivul statistic descris de funcția de stare $\, \psi ,$ este

$\left( 32 \right)$ $\left \langle A \right \rangle = \left \langle \psi , A \psi \right \rangle .$

Principiul reducerii funcției de stare

Dacă rezultatul măsurării mărimii fizice $\mathcal{A}$ este valoarea proprie $\, a_n , \,$ funcția de stare după măsurare se află în subspațiul invariant asociat acestei valori proprii.
Reducerea funcției de stare^[10] reprezintă efectul cuantic, incontrolabil experimental, care definește o măsurătoare ideală; funcția de stare după măsurătoare se referă la un colectiv statistic în general diferit de cel dinaintea măsurătorii. Dacă rezultatul măsurătorii este o valoare proprie degenerată, ea nu va determina univoc funcția de stare și colectivul statistic asociat: în acest caz măsurătoarea este incompletă. Pentru a caracteriza complet starea sistemului, este necesară măsurarea simultană a unui sistem complet de observabile care comută $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, ... \, ;$ funcția de stare va fi vectorul propriu comun unic, corespunzător valorilor proprii măsurate $a, b, c, ... \,$ Sistemul atomic este astfel „preparat” pentru o nouă măsurătoare (completă sau incompletă) a stării sale la un moment ulterior.^[11]

Algebra observabilelor: relații de comutare

Principiile mecanicii cuantice nu specifică forma operatorilor hermitici care reprezintă mărimi fizice observabile, sau relațiile de comutare pe care ei le satisfac. Acestea se stabilesc, pentru sisteme simple care au un analog în mecanica clasică^[12] sau în teoria cuantică veche, prin metode euristice în care intuiția are un rol. Rezultatele sunt apoi extinse la sisteme complexe, generalizate și abstractizate.^[13]

Poziție și impuls

Poziția unei particule materiale este indicată prin componentele carteziene ale vectorului de poziție

$\left( 33 \right)$ $\mathbf{r} = \left( x, y, z \right)$

care, în formularea Schrödinger și în reprezentarea poziției, sunt operatori multiplicativi, deci comută două câte două:

$\left( 34 \right)$ $[x, y] = 0 \, , \, [y, z ] = 0 \, , \, [z, x] = 0 \, .$

Ipoteza lui De Broglie, prin care unei particule libere i se asociază o undă plană, sugerează pentru componentele carteziene ale operatorului impuls forma

$\left( 35 \right)$ $\mathbf{p} = \left( p_x, p_y, p_z \right) = \left( -i \hbar \frac{\part}{\part x} \, , \, -i \hbar \frac{\part}{\part y} \, , \, -i \hbar \frac{\part}{\part z} \right) = -i \hbar \nabla \, ,$

unde $\nabla \,$ este operatorul gradient (nabla). Rezultă relațiile de comutare

$\left( 36 \right)$ $[p_x, p_y] = 0 \, , \, [p_y, p_z ] = 0 \, , \, [p_z, p_x] = 0$

și

$\left( 37 \right)$ $[x, p_x] = i \hbar \, , \, [y, p_z ] = i \hbar \, , \, [z, p_x] = i \hbar \, ;$

componente diferite ale poziției și impulsului comută.

Moment cinetic

Definiția momentului cinetic orbital este preluată din mecanica clasică, având în vedere că în dezvoltarea produselor de operatori ordinea factorilor trebuie păstrată:

$\left( 38 \right)$ $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \left( y p_z - z p_y , z p_x - x p_z , x p_y - y p_x \right) \, .$

Rezultă relațiile de comutare

$\left( 39 \right)$ $[L_x, L_y] = i \hbar L_z \, , \, [L_y, L_z] = i \hbar L_x \, , \, [L_z, L_x] = i \hbar L_y \, .$

Pătratul momentului cinetic orbital

$\left( 40 \right)$ $\mathbf{L}^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$

comută cu fiecare din componente:

$\left( 41 \right)$ $[\mathbf{L}^2 , L_x] = 0 \, , \, [\mathbf{L}^2 , L_y] = 0 \, , \, [\mathbf{L}^2 , L_z] = 0 \, .$

Aceste relații sunt postulate valabile, în general, pentru orice moment cinetic (orbital, de spin, sau rezultatul compunerii unor momente cinetice).

Energie și hamiltoniană

Hamiltoniana clasică pentru o particulă de masă $\, m \,$ aflată sub acțiunea unor forțe care derivă dintr-un potențial este suma energiei cinetice și a energiei potențiale:

$\left( 42 \right)$ $H = \frac{1}{2m} \, \mathbf{p}^2 + V \left( \mathbf{r} , t \right) \, .$

În cazul unei particule de sarcină electrică $\, e \,$ aflată într-un câmp electromagnetic care derivă din potențialul vector $\, \mathbf{A} \,$ și potențialul scalar $\, \Phi , \,$ relația precedentă devine

$\left( 43 \right)$ $H = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c} \mathbf{A} \left( \mathbf{r} , t \right) \right)^2 + e \Phi \left( \mathbf{r} , t \right) \, ,$

unde $\, c \,$ e viteza luminii în vid.
În mecanica cuantică, hamiltoniana este operatorul de evoluție; dacă nu depinde explicit de timp, ea este operatorul atașat observabilei energie. Expresia sa e, formal, cea din mecanica clasică, ținând seama că mărimile dinamice

$\left( 44 \right)$ $\mathbf{r} \, , \quad \mathbf{p} = -i \hbar \nabla \, , \quad \mathbf{p}^2 = -\hbar^2 \Delta$

devin operatori; $\, \Delta \,$ e operatorul laplacian.
Se constată că ecuațiile lui Heisenberg (21) pentru operatorii poziție și impuls au aceeași formă ca ecuațiile canonice din mecanica hamiltoniană, dacă parantezele Poisson sunt înlocuite prin comutatorii respectivi, împărțiți la constanta $\, i \hbar \, .$ ^[14] Această manifestare a principiului de corespondență sugerează următoarea generalizare a relațiilor (34), (36) și (37) la sisteme alcătuite din mai multe particule:

$\left( 45 \right)$ $[x_i,x_j] = 0 \, , \,[p_i,p_j] = 0 \, , \,[x_i,p_j] = i \hbar \delta_{ij} \, ,$

unde $\, { x_i } \,$ și $\, { p_j \,}$ sunt, respectiv, componentele carteziene ale pozițiilor și impulsurilor particulelor. Operatorul hamiltonian se obține din hamiltoniana clasică $\, H \left( p_1, p_2, ... \, x_1, x_2, ... \right) ,$ înlocuind variabilele canonice prin operatorii respectivi — cu precizarea că produsele de operatori necomutativi trebuie simetrizate.^[15]

Curiozitati

marți, 11 iunie 2013

Principiile mecanicii cuantice